「金融数理の基礎」第３回フォロー

第3回目の宿題プリント（配布したもの）はイントラネットにもアップしておきました。

第３回の宿題は、5/8(木）までに、８階の共同研究室にレポートとして提出してください。

ちなみに、前回の宿題レポートの提出を確認できたのは、以下の25名です。
提出したはずなのに自分の id が載っていないという人は至急連絡ください。

IK08F002, IM07F007, IM07F011, IM07F013, IM07F028, IM07F029,
IM07F031, IM07F037, IM07F044, IM08F007, IM08F010, IM08F013,
IM08F016, IM08F017, IM08F020, IM08F023, IM08F024, IM08F026,
IM08F027, IM08F028, IM08F030, IM08F037, IM08F038, IM08F039,
IM08F040

以下、授業の中身に関する補足です。（長くなります）

授業の最後に、例題1.2.4 の数字を変えて出題しました。
（S_0 =9, u= 4/3, d=2/3, r=1/6 として、対象となるオプションは同じ形のルックバック・オプション）

それの解答というか、検討過程を表したExcelファイルもイントラネットにアップしておきました。
参考まで。

あと、授業の冒頭で、No arbitrage の視覚化の話をしました。
矢野さんから指摘をうけましたが、行列表現を用いた書いた部分は、No Arbitrage の「定義」というよりは、あの１期間２項モデルにおける No Arbitrage の具体的な表現にすぎません。
そして、xy平面に図示したものは、その No Arbtirage の表現を目で確認したものにすぎませんので、混乱させてしまったかもしれません。すみません。

伝えたかったのは、有限個の状態で離散時間のモデルは、有限次元の線形代数の話に翻訳できてしまうということと、有限次元の線形代数の話であれば、（無理をすれば２，３次元の）幾何的なイメージでとらえることもできて、それが Fundamental Theorem for Asset Pricing の一般化とその証明のアイデアにつながっていくというように、有限状態・離散時間モデルでは、ファイナンスの概念を幾何的イメージと対応づけられるということです。


ただし、２次元で表現することにこだわったので、ちょっとだけ一般論とは異なった幾何的イメージを使って説明しました。
有限状態・離散時間モデルの一般論に自然に接続するためには、今回の例で言うと
(-(4x+y), 8x+5y/4, 2x+5y/4) という３次元ベクトルで話を進めることになります。

この３次元ベクトルは、
　第１成分が「手元資金がないときに、x単位の株を買って y をrisk-free で運用するときに
借りる金額」
　第２成分、第3成分は、それぞれコインが表、裏だった場合に「借金があれば返して、さらに株をそのときの価格で売却して残った金額」
を意味することになります。

「これら３つの成分が全て０以上で、なおかつ同時に 0 でないような (x,y) がある」場合には、
裁定機会が存在することになるのですが、この場合は、そういう(x,y)は見つからない（つまり
無裁定になっている）ということになります。

これを幾何的イメージでとらえ直すと、
(-(4x+y), 8x+5y/4, 2x+5y/4) は (x,y) を自由に動かすと、原点(0,0,0)を通る３次元空間内の
ある平面を表します。
一方で、裁定機会を表す部分は、この設定だと全ての成分が０以上の領域で原点だけ除いた
凸錐状の領域になります。
先の平面と凸錐状の領域は共通部分をもちません（原点で接するように見えますが、凸錐状の領域は原点を含まないので）が、このように「手持ち資金なしで（あるいは借金からスタートして）行う株の取引と無リスク金利の運用で実現可能な結果」を表す平面と裁定機会を意味する凸錐状の領域が、共通部分を持たないことが一般の設定における無裁定条件の幾何的イメージとなります。

だいぶ読むのに疲れてきた人がいると思いますが、この際なので一気に説明を書くと、
Fundamental Theorem が言っているを幾何的イメージに翻訳すると、
「運用結果の可能性を表す空間の領域と裁定機会を意味する凸錐状の領域は、ある（超）平面で分離できる（一方の領域は分離平面に含まれてもよい）」というもので、今回の例の場合は、
(-(4x+y), 8x+5y/4, 2x+5y/4) で表される平面そのものが分離平面となります。
また、この平面以外には２つの領域を分離平面は存在しません（これは「完備性」に対応します）。

場合によっては、分離平面が無数に存在する場合がありますが、それは無裁定だが非完備
だということに対応します。

次回の予習ポイントについては、改めてアップします。
また、前回の宿題についての総括コメントもできるだけ早くアップしたいと思います。