いま、確率過程 {Xn}n=1,2,⋯ を ∀n に対して「Xn(ω)=ω を n で割った余り」と定義する。 例えば ω=63 とすると X1(ω)=0,X2(ω)=1,X3(ω)=0,X4(ω)=3,X5(ω)=3,⋯ となる。
では、n=1,2,⋯ という時間の進行とともに確率過程 Xn の値を私たちは知らされていくとき、どの時点まで Xn の値を知ることができれば ω を特定できるだろうか？
先の例で n=5 までの結果が X1(ω)=0,X2(ω)=1,X3(ω)=0,X4(ω)=3,X5(ω)=3 と教えられたとしても ω=63 は特定できるかというと、できない。 なぜなら ω=123 とか ω=603 であっても上のような結果になるからである。
問1
n=15までの確率過程 {Xn} の値が次のように観測された。 X1=0,X2=0,X3=1,X4=2,X5=2,X6=4,X7=1,X8=6,X9=4,X10=2,X11=0,X12=10,X13=9,X14=8,X15=7
(i) ω の値を答えよ。
(ii) この ω の値を特定するのに必要な最小の n の値を答えよ。
問2
一般に、任意の ω∈Ω を特定するためには {Xn} の値をどの n まで知る必要があるかを調べよ（当然、手計算では無理なので、適当なプログラムを自分で作って探すことになる）。
そのうえで、次の問いに答えよ。
(i) ある ω を特定することが可能となる最小の n および特定できる ω の値を答えよ。
(ii) 全ての ω を特定することが可能となる最小の n を答えよ。
問3
フィルトレーション (Fn)n∈N を Fn=σ{X1,⋯,Xn} のように与える。
(i) {∅,Ω},F および F1,⋯,F10 の12個のσ-加法族について、これらを適当な順序に並べて、それぞれの間を「=」または「⫋」のいずれか適当な方を用いて包含関係を明らかにせよ。
(ii) 確率変数 について、問1 の(i)の答えの の値に対する の値を についてそれぞれ求めよ（ここでは、条件付き期待値を確率変数として表示するのではなく、特定の を与えたときの数値をそれぞれの について答えることを求めている）。
