解いてみました…

正解であることは別に保証しません。解答方針だけは分かって満足してるので。

(1) $\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^2}{2t}}$

(2) $e^{(\frac{1}{2}\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)t}$

(3) $e^{(\frac{1}{2}\alpha^2+\beta^2)t}$

(4) $W_s^2 + 2t - s$

(5) $2\sqrt{\frac{t}{\pi}}$

(6) $2\sqrt{\frac{t}{\pi}}$

(7) 満たす方程式自体はいろいろ考えられるけど期待されているのは熱方程式？ $\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$

(8) $\left(\frac{e^{\alpha}+e^{-\alpha}}{2}\right)^t$

(9) $e^{\alpha Z_s}\left(\frac{e^{\alpha}+e^{-\alpha}}{2}\right)^{t-s}$

(10) $\frac{15}{128}$

(11) $\frac{15}{28}$

(12) $Se^{(r - \frac{\sigma^2}{2})t + \sigma W_t}$

(13) $Se^{rt}$

(14) $S^2e^{2rt}(e^{\sigma^2t}-1)$

(15) $2S_ue^{(r+\sigma^2)(T-u)}$