第6回の課題レポートについて

第6回の課題についてのレポートを提出してくれた方は以下の通りです。


IM09F029, IM10F002, IM10F004, IM10F011, IM10F013, IM10F019,
IM10F022, IM10F025, IM10F034, IM10F038, IM11F011, IM11F012,
IM11F014, IM11F021, IK11F016,

提出したはずなのに、IDがここに挙がっていない人は早めに連絡ください。


一次チェックをしてのコメントです。
（問題２の解答例をイントラネットにアップしておきました）

問題１は、授業中に解説したので、プレゼン資料 or Excelファイルを
参照してください。

問題２についてですが、（１）（２）はともに同じ手続きでの解答になります。

授業の流れに従えば、コピュラの定義の３つの条件を地道に示すという作業が必要になります。

２つ目の
\[ M(u_1, 1) = u_1, M(1,u_2) = u_2 \]
という条件は特に問題ないですね。

１つ目の、$u_1, u_2$ それぞれについて単調非減少であることを示すところですが、$u_1 < u_2$ と $u_1 \ge u_2$ のような場合分けをしている人が多くいました。また、そういう場合分けをしている人の中には、示すべきことを勘違いしているような人がいました。

ここで示すべきことは、$u_1, u_2$ の一方を固定して、もう一方の変数について単調非減少を示すこと、すなわち
\[ \forall u_1, u_2, 0 \le \forall x < \forall y \le 1 \ \Rightarrow \ M(x, u_2) \le M(y, u_2), \ M(u_1, x) \le M(u_1, y) \]
を示すことです。
これだけであれば、特に$u_1, u_2$ の大小関係で場合分けをしなくても示すことはできると思います。

３つ目は、「単位正方形の周上または内部の任意の長方形領域に対応する確率が非負」という条件で
\[ a_1 \le b_1, \ a_2 \le b_2 \ \Rightarrow \ M(a_1,a_2) - M(a_1, b_2) - M(b_1, a_2) + M(b_1, b_2) \ge 0 \]
を示すことになりますが、$a_1$ と $a_2$ および $b_1$ と $b_2$ に大小関係が仮定されていないので、厳密には場合分けをする必要があります。
きちんと場合分けせずに示すのは難しいと思います。

グラフを持ち出している人もいましたが、説明が適切ではないのでもったいない感じがしました。

また、場合分けも上手にやらないと本当に全てのケースを調べ尽くしているか、判別しにくいので注意です。

そうした点から、きちんとできていると判断出来る人はごくわずかでした。


（３）は確率の言葉に翻訳すると、$A, B$ という２つの事象について
\[ \max\{P(A) + P(B) - 1, 0\} \le P(A \cap B) \le \min\{P(A), P(B)\} \]
を証明せよ、という話になります。
基本的な確率の性質をいくつか使って二つの不等号を示すことになります。

上の性質に着目して解いた人もいましたし、コピュラのままで上手に定義の条件を使って証明してくれていた人もいましたが、手つかずの人も多かったです。