「金融数理の基礎」第13回フォロー（更新２）

今回の配付資料をイントラネットにアップしておきました。

「リスク中立確率」に関しての説明で時間が足りなくて残ってしまった部分の補足説明資料をイントラネットにアップしておきました。次回の授業でも少し触れますが、事前に目を通しておいてください。
数式の等号変形については理由を明示していませんが、自分なりにどういう理由でそれぞれの等号変形が正当化されるかを考えておいてください。

演習課題については、二項モデルにおけるリスク中立確率測度がどのように構成されるかという話を授業でできなかったわけですが、配付資料3ページの命題のステートメントを参考にしていただければ考えることはできると思います。

その証明も実は簡単で、授業の最後に示したように、割引株価過程のQの下でのマルチンゲール性が r = E^Q[η-1] という「無リスク利子率＝リスク資産の期待リターン」が成立するという関係に帰着されますので、 \tilde[P} がリスク中立確率測度になることを示すためには、

r = \tilde{E}[η-1] ⇔ 1+r = \tilde{E}[η]　　（ \tilde{E} は\tilde[P}の下での期待値を表す）

が成り立つことを示せばよいことになります。ここでやるべきことは、

\tilde{E}[η] = \tilde[P}({H})×η(H) + \tilde[P}({T})×η(T)

= {(1+r)-d}/(u-d) ×u +{u-(1+r)}/(u-d)×d = … = 1+r

ということを計算で確かめることです。

「金融数理の基礎」第12回フォロー

今回の配付資料および期末試験の告知をイントラネットにアップしておきました。

フィルトレーションのところで質問を多数うけつけました。

準教科書の2.6.3項のところにある説明も読んでみてください。

なお、フィルトレーションを定義したところで、

F_k =σ { A ⊂ Ω | ω, ω' ∈ A ⇒ ω_1 = ω'_1, ... , ω_k = ω'_k }

というのを書きました。

授業後の質問で少し気になったので、後で検討してみたところ

「⇒」の向きが逆にならないといけないことに気づきました。

F_k = σ{ A ⊂ Ω | ω_1 = ω'_1, ... , ω_k = ω'_k ⇒ ω, ω' ∈ A }

というのが正しいです。

なお準教科書の記述も修正することで訳者の方と確認しました。

こちらの「46頁下から10行目」のところを参考にしてください。

2^Ωはベキ集合のことです。

σ加法族については定義をそのまま頭に入れるよりも、簡単な場合には

具体的に要素となる集合を書き出すというのが理解の早道だと思います。

１／２１（金）「金融数理の基礎」第13回：離散時間モデル（金融市場モデルの定式化）

準教科書の7.4.4項に関連する話題になります。

* 原資産の取引戦略
* 「裁定戦略」と「無裁定市場」
* 複製戦略
* リスク中立確率－デリバティブ価格を（条件付き）期待値として見る

という流れで進めたいと思います。

また、昨年度までの教科書だった

S. E. シュリーヴ（長山 いづみ他訳）,「ファイナンスのための確率解析Ｉ：二項モデルによる資産価格評価」, シュプリンガー・フェアラーク東京(2006)

　※原書：S. E. Shreve, Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model. Springer(2004)

の１章、２章が参考になると思います。

１／１４（金）「金融数理の基礎」第12回：離散時間モデル（金融市場モデルの定式化）：一部修正

次回は年明けだいぶ先になりますが、金融市場の離散時間モデル（特に2項ツリーモデル）を定式化する話をします。
これまでずっと準備してきた数学的概念が、やっと金融市場の概念と対応していくことになります。

予習用問題をイントラネットにアップしておきました。レポート課題ではありませんが、第9回～11回の復習にもなると思いますので、冬休み中に考えて解いてみてください。次回の授業内の前半で触れる予定です。

準教科書の2.6.3項、3.5.5項、4.7.5項、7.4.4項の内容をミックスとして触れていくつもりです。

* 2項ツリーの確率空間としての導入
* デリバティブの確率変数としての導入

* 原資産の取引戦略

という流れで進めたいと思います。

「デリバティブ価格の期待値としての意味づけ」は次回の話題にしたいと

思います。

冬休みの間にこれまでの内容をよく復習しておいてください。

研究覚え書き

* Project-O：採択の連絡。これから手直しなどの作業が発生するが、一区切り。

研究覚え書き

研究メモはしばらく空いてしまった。
依頼講演や原稿のこともあって新たな研究の方向性を模索中。

　　* Project-AM：とりあえずこれまでのプロジェクトは終了。新しいプロジェクトに移行。まずはデータをよく眺めてみて、比例ハザードモデルの推定でもしてみるか。
　　* Project-CVA？: 依頼原稿もあるので、文献をいろいろと漁る。デリバティブ市場のことをよく知らないと、このテーマに乗っかっても迫力が出ないと思われる。ただ、きちんとcatch-upしておかないといけないテーマでもあるし。
　　* Project-O：採択まであと一歩という感じ。
　　* Project-Ya：投稿論文のreviewはまだ返ってきていない。
　　* Project-Yu：共著者が投稿してくれた。まだ査読者を探している状況のようだ。新プロジェクトについては未定。

あと、いくつかテーマについて考え中。

第10回レポートの講評

第10回目の課題レポートを1次チェックしての講評です。

前回と同様に、計算問題は答えがあっていて、その前に計算式が書かれていれば○としてあります。

全体的に良くできている人が半数くらいで、残りの人は冬休みに要復習という感じです。

問１ (1) は皆できていました。

(2) は少し計算ミスの人がいました。

(3)は何を計算すべきか分からなかったと思われる人が少なからずいました。

Ωの世界で言えば、 X(ω) ∈ [-10,3.5] となるような ωだけを考えればよく、結果的に集合 {1,5,6} 上で(2)と同様の計算をすればよいということです。

授業で紹介した∫ 記号を使った一般的な積分の関係式に囚われすぎている人もいましたが、演習でやるのは高々分数の加減乗除で計算できる期待値です。

どういう集合の上で「確率変数の値×その値をとる確率」を考えて和をとればよいかというように素朴に考えてほしいところです。

(4) は計算ミスも見られましたが、大半の人はできていました。

問2 (1) は数名を除いてできていました。

(2) 　1_{1,2,3,4,5}(ω) + ω1_{6,7,8,9,10}(ω) という解答もあり、X(ω) の表現としては間違いではないのですが、単関数ということを明確にして、Xという変数によってΩが{1,2,3,4,5},{6},{7},{8},{9},{10} と分割されることを意識するためには、面倒であっても解答例のような表現で考える方が無難に思います。

(3) (a) E[X|F_X] = E[X] と解答してしまった人がいましたが、X は F_X 可測なので、答えは X そのものになります。

(b)(c)(e)(f) は何かしら計算を必要としますが、多くの人はきちんと計算できていました。ただ、全滅に近い人もいましたので、Excelの解答例などを見て計算方法を確認しておいてください。

いずれにしても、この演習問題のような形式で条件付き期待値の理解を確認する問題は期末試験に必ず出題します。

「金融数理の基礎」第11回フォロー

今回の配付資料および前回演習問題の解答例をイントラネットにアップしておきました。

（受領確認）第10回レポート

第10回の課題レポートを提出されたIDを確認のため掲示します。

適宜、この記事は更新していきますので、提出したはずなのに自分のIDが
無いという人は、早めに中川に連絡ください。

12/17 21:30 時点の提出者：

IM10F005, IM10F006, IM10F011, IM10F013, IM10F014, IM10F016
IM10F019, IM10F021, IM10F022, IM10F024, IM10F025, IM10F029,
IM10F030, IM10F031, IM10F033, IM10F034, IM10F037, IM10F039

１２／１７（金）「金融数理の基礎」第11回：確率論（条件付き期待値、マルチンゲール）

次回は年内最終回。条件付き期待値の残りとマルチンゲールについて触れます。

準教科書の7.4節の7.4.1項の続き～7.4.2項の内容に触れます。
（前回触れられなかった5.4.3項にある条件付き期待値の幾何的イメージにも言及したいと思います。）

* 条件付き期待値の性質（前回の配付資料に載せていたものに言及します）
* 条件付き期待値の幾何的イメージ
* マルチンゲール、優マルチンゲール、劣マルチンゲールの定義、およびそれらの簡単な例

*（ 時間があれば） Doob分解、離散時間版確率積分（マルチンゲール変換）

という流れで進めたいと思います。