第14回目は、期末試験範囲ではありませんが、二項モデルの極限として Black-Scholes モデルが現れる部分について概説をしたいと思います。
当日資料を配付して、それにそって説明していきますが、Shreve の第2巻を持っている人は、3.2節あたりの内容になります。最後は、有名なヨーロピアン・コール・オプションの価格式を導出して授業を終わりにしたいと思います。
2008年7月21日月曜日
2008年7月16日水曜日
「金融数理の基礎」第１３回フォロー
配布資料はイントラネットにアップしておきました。
7月15日（火）提出の「金融数理の基礎」第12回分のレポートの提出が確認できているのは、以下の14名です。
提出したはずなのに自分の id が載っていないという人は至急連絡ください。
IK08F002, IM07F029, IM07F044, IM08F007, IM08F010, IM08F013,
IM08F023, IM08F024, IM08F026, IM08F027, IM08F028, IM08F030,
IM08F037, IM08F039
脱線話として、子供の数の認識の話をしましたが、その元ネタはこちらの本です。
この本の著者は、私の大学受験時代には受験数学のカリスマの一人で、今は経済学部の先生としていろんな本を出版しています。
数学部分をフォローするのに少し骨が折れるかもしれませんが、夏休みに読む本としてこちらの本もお薦めしておきます。
あと、数学における「原理」という用語の使われ方について質問がありましたので、少し調べてみましたが、腑に落ちる説明はありませんでした。
あくまでも私見ですが、数学における「○○の原理」と呼ばれるものは、公理や定義から証明さえるべき定理の一種にすぎないけれども、非常に汎用性が高く、その定理からさらに数多くのいろいろな命題が証明できるものが多いように思います。
そういう定理全てが「原理」と呼ばれるわけではありませんが、誰かがそれを principle と呼ぼうと言い出して、それに多くの人が同意された場合に、習慣的に「○○の原理」と呼ばれるようになったのではないでしょうか？
7月15日（火）提出の「金融数理の基礎」第12回分のレポートの提出が確認できているのは、以下の14名です。
提出したはずなのに自分の id が載っていないという人は至急連絡ください。
IK08F002, IM07F029, IM07F044, IM08F007, IM08F010, IM08F013,
IM08F023, IM08F024, IM08F026, IM08F027, IM08F028, IM08F030,
IM08F037, IM08F039
脱線話として、子供の数の認識の話をしましたが、その元ネタはこちらの本です。
この本の著者は、私の大学受験時代には受験数学のカリスマの一人で、今は経済学部の先生としていろんな本を出版しています。
数学部分をフォローするのに少し骨が折れるかもしれませんが、夏休みに読む本としてこちらの本もお薦めしておきます。
あと、数学における「原理」という用語の使われ方について質問がありましたので、少し調べてみましたが、腑に落ちる説明はありませんでした。
あくまでも私見ですが、数学における「○○の原理」と呼ばれるものは、公理や定義から証明さえるべき定理の一種にすぎないけれども、非常に汎用性が高く、その定理からさらに数多くのいろいろな命題が証明できるものが多いように思います。
そういう定理全てが「原理」と呼ばれるわけではありませんが、誰かがそれを principle と呼ぼうと言い出して、それに多くの人が同意された場合に、習慣的に「○○の原理」と呼ばれるようになったのではないでしょうか？
「金融数理の基礎」第１２回分宿題コメント
第１２回分の宿題についてのコメントです。
一通り目を通しましたが、もう一度ロジックの確認などをしたいと思います。
返却は来週の火曜日になるかと思います。
採点していて気になったところをコメントしておきます。
問題4.6
(i) r≧0 という条件がきいているのですが、そのことを明確に表現していないものがありました。数学の問題では、解答の中で与えられた条件を適切に使えているかどうかをチェックするので、 当たり前と思われる部分でもでいるだけ丁寧に理由を明示する方がよいでしょう。
あと、S_n/(1+r)^n という割引株価がリスク中立確率測度の下でマルチンゲールになるという性質に注目していた人が多く、それは良い方針なのですが、
E[S_τ/(1+r)^τ] =S_0 という式（期待値は~を省略していますが、リスク中立確率の下での期待値）を何も説明せずに使っている人がいましたが、細かく言うと、ここでは任意抽出定理を使うことになりますし、その場合でもE[S_(τ∧N)/(1+r)^(τ∧N)] =S_0 というように、停止時刻のところを(τ∧N) という形にしないといけません。
(ii) これは、結構採点に悩む解答が多かったです。肝要なところを言葉で説明しているので、本当に分かっているのかどうかがよく分からないのです。数式の扱いに慣れないと難しいことかもしれませんが、
今回、数式でうまく説明するための基本となるアイデアは
max{f(x)+g(x)} ≦max{f(x)} + max{g(x)}
という不等式です。（f を (i) のペイオフの割引価値、g をコール・オプションの本源的価値の割引価値、x を停止時刻と思えば、今回のケースを考えることができます）
ファイナンス的なポイントは、多くの人が指摘しているように、(i)のデリバティブとヨーロピアン・コールの合成ペイオフが、アメリカン・プット・オプションのペイオフと見た目が同じになるということです。
ただし、不等式の関係を示すということなので、正確には、
(i)のデリバティブとヨーロピアン・コールの合成ペイオフが、アメリカン・プット・オプションのペイオフを下回らないということを適切に示すのが良い方針となります。
(iii) こちらは V_0^EP≦V_0^AP を示すことは難しくないですし、ヨーロピアンの場合のプット・コール・パリティを使えば、それほど難しくなく、比較的よくできていました。
問題4.7
手つかずの人もいましたが、満期まで権利行使しないのが最適という結論は多くの人が得ていました。
ただし、時刻 0 での価値を S_0 - K/(1+r)^N と正しく解答していた人はあまり多くありませんでした。
r≧0 の言及がないものがありました。上の(i)と同様のコメントが当てはまります。
発展課題
4名の方がチャレンジしていました。
理論解をきちんと導出している人はいませんでしたが、漸化式に基づく議論で良いところまでいっている人はいました。ただ、素朴に考えていくと、計算すべき期待値は無限和の形で表されるため（しかも一般項のわからない漸化式が含まれる形）、工夫をしないと自力では計算できません（たぶん工夫は可能でしょうが、この方針では私も実は解けていません）。
数値計算で理論値を導出できている人がいましたので、期待値が有限になると知っていれば、無限和をある程度の有限和で近似するというアプローチも現実的ですね。
4名ともシミュレーションをしていて、そのうち3名の方は理論値に近く収束できていました。
残りの1名は、10回連続ではなく9回連続の場合のシミュレーションをしてしまったのだと思われます。
プログラム中の判定で <10 と ≦ 10 のようなところを微妙に間違えているのではないでしょうか？
私も、VBAをずっと使っていて、たまに C でプログラムするときは、
for と if の条件表記でよくミスしてしまいます。
解法については、何かの機会に紹介したいと思います。
ちなみに理論値は 2046 です。これは 2^11-2 に対応しますが、
実際には、2+2^2+・・・+2^10 を計算したものと見ることになります。
一通り目を通しましたが、もう一度ロジックの確認などをしたいと思います。
返却は来週の火曜日になるかと思います。
採点していて気になったところをコメントしておきます。
問題4.6
(i) r≧0 という条件がきいているのですが、そのことを明確に表現していないものがありました。数学の問題では、解答の中で与えられた条件を適切に使えているかどうかをチェックするので、 当たり前と思われる部分でもでいるだけ丁寧に理由を明示する方がよいでしょう。
あと、S_n/(1+r)^n という割引株価がリスク中立確率測度の下でマルチンゲールになるという性質に注目していた人が多く、それは良い方針なのですが、
E[S_τ/(1+r)^τ] =S_0 という式（期待値は~を省略していますが、リスク中立確率の下での期待値）を何も説明せずに使っている人がいましたが、細かく言うと、ここでは任意抽出定理を使うことになりますし、その場合でもE[S_(τ∧N)/(1+r)^(τ∧N)] =S_0 というように、停止時刻のところを(τ∧N) という形にしないといけません。
(ii) これは、結構採点に悩む解答が多かったです。肝要なところを言葉で説明しているので、本当に分かっているのかどうかがよく分からないのです。数式の扱いに慣れないと難しいことかもしれませんが、
今回、数式でうまく説明するための基本となるアイデアは
max{f(x)+g(x)} ≦max{f(x)} + max{g(x)}
という不等式です。（f を (i) のペイオフの割引価値、g をコール・オプションの本源的価値の割引価値、x を停止時刻と思えば、今回のケースを考えることができます）
ファイナンス的なポイントは、多くの人が指摘しているように、(i)のデリバティブとヨーロピアン・コールの合成ペイオフが、アメリカン・プット・オプションのペイオフと見た目が同じになるということです。
ただし、不等式の関係を示すということなので、正確には、
(i)のデリバティブとヨーロピアン・コールの合成ペイオフが、アメリカン・プット・オプションのペイオフを下回らないということを適切に示すのが良い方針となります。
(iii) こちらは V_0^EP≦V_0^AP を示すことは難しくないですし、ヨーロピアンの場合のプット・コール・パリティを使えば、それほど難しくなく、比較的よくできていました。
問題4.7
手つかずの人もいましたが、満期まで権利行使しないのが最適という結論は多くの人が得ていました。
ただし、時刻 0 での価値を S_0 - K/(1+r)^N と正しく解答していた人はあまり多くありませんでした。
r≧0 の言及がないものがありました。上の(i)と同様のコメントが当てはまります。
発展課題
4名の方がチャレンジしていました。
理論解をきちんと導出している人はいませんでしたが、漸化式に基づく議論で良いところまでいっている人はいました。ただ、素朴に考えていくと、計算すべき期待値は無限和の形で表されるため（しかも一般項のわからない漸化式が含まれる形）、工夫をしないと自力では計算できません（たぶん工夫は可能でしょうが、この方針では私も実は解けていません）。
数値計算で理論値を導出できている人がいましたので、期待値が有限になると知っていれば、無限和をある程度の有限和で近似するというアプローチも現実的ですね。
4名ともシミュレーションをしていて、そのうち3名の方は理論値に近く収束できていました。
残りの1名は、10回連続ではなく9回連続の場合のシミュレーションをしてしまったのだと思われます。
プログラム中の判定で <10 と ≦ 10 のようなところを微妙に間違えているのではないでしょうか？
私も、VBAをずっと使っていて、たまに C でプログラムするときは、
for と if の条件表記でよくミスしてしまいます。
解法については、何かの機会に紹介したいと思います。
ちなみに理論値は 2046 です。これは 2^11-2 に対応しますが、
実際には、2+2^2+・・・+2^10 を計算したものと見ることになります。
７／２３（水）「フィナンシャル・リスク・マネジメント」期末試験
期末試験のアナウンスです。
試験前に、授業評価のアンケートを実施するそうです。日時と場所：7月23日（水） 18：40～19：40（正味60分） 第3講義室
※遅刻は試験開始３０分後まで認めます（つまり19:10まで）
※追試験の予定はありません（ただし、正当な理由があり、なおかつ試験開始１時間前までに当日の受験が不可能であることを中川に連絡してきた場合のみ、追試験の可能性を検討します。ただし、仮に追試験をした場合の成績評価は「学生便覧・講義要綱」の一橋大学大学院国際企業戦略研究科細則の第１８条（追試験）３に倣って、得点の８割とします）
試験範囲と出題形式
- 第9回の授業から第14回の授業で扱った内容（プレゼン資料・配布資料）。プレゼン資料の内容や数式を細かく記憶してくる必要はないが、資料の中で強調されたり繰り返し使われている用語の意味を確認したり、授業でどういう話題を扱ったかを自分なりに整理したりしておくこと
- 計算問題を40点分、記述問題を60点分出題する
- 計算問題は、配布資料の演習問題の類題を出題する。特に Merton モデル、定数強度モデルによるクレジット・デリバティブの評価に関する問題、デフォルト相関について確認すること
- 記述問題は、授業で触れた内容に関連したテーマの知識を問う問題とする。以下の点について、見直しておいてください。
（線形判別分析の前提、KMVモデルのDD算出のアイデア、構造型（＋完全情報）モデルの弱点、ハザードレート過程とマルチンゲール強度過程の相違点、条件付き独立モデルとデフォルト伝播モデルの相違点、損失分布手法によるオペリスク計測）
- 参考書やノートなどの参照は不可とする。また卓上計算機などの使用も不可とする
2008年7月11日金曜日
７／８（火）「金融数理の基礎」第13回：ランダムウォーク(2)
第13回目では、メインテキストの5.2-5.4節を扱う予定でいます。
予習時のポイント（授業において重点的に説明するところにもなります）として、以下の項目を挙げておきます。
5章については何とか次回で一区切りつけてしまいたいので、証明の細部に立ち入るのは控えたいと思います。
予習時のポイント（授業において重点的に説明するところにもなります）として、以下の項目を挙げておきます。
- 対称ランダムウォークの初到達時刻の期待値が∞になることと、明示的な密度関数の導出のアイデア
- 対称ランダムウォークの鏡像原理とその応用としての、初到達時刻の分布の導出
- 永久アメリカン・プット
5章については何とか次回で一区切りつけてしまいたいので、証明の細部に立ち入るのは控えたいと思います。
速報！ついに、あの翻訳本が・・・
フィナンシャル・リスク・マネジメントの授業の準テキストの翻訳本の発売日が決まりました。
詳細はこちら！
Amazon での紹介はこちら！
発売日は7月23日！（大きな書店では、もっと早く店頭には並ぶと思います）。
ページ数は648ページ！
価格は、8400円(税込）！！！（この記事の投稿時点において、Amazon で原著を買うよりも、何と1,555円もお得！！！）
フィナンシャル・リスク・マネジメントの授業を履修している人だけでなく、このブログを読んでいる方すべてにお薦めしたいと思います。
2008年7月10日木曜日
「フィナンシャル・リスク・マネジメント」第１３回分課題レポート【返却】
「金融数理の基礎」第１１回分宿題レポート【返却】
2008年7月9日水曜日
「フィナンシャル・リスク・マネジメント」第１３回分課題コメント
第１３回分の演習課題についての略解とコメントです。
(i) 手つかずの人もいました。また、議論が不十分だったり、いちおうできているけれど説明が冗長な人が目立ちました。場合分けを丁寧にしている人がいましたが、場合分けの議論は不要です。
まず、 E[Y^iY^j] = P(Y^i =1, Y^j =1) に注意です。つまり、E[Y^iY^j] は i と j の同時デフォルト確率を表していることに注意。
(A) min{p_i, p_j} ≧ E[Y^iY^j]=P(Y^i =1, Y^j =1) を示すには・・・
{Y^i =1, Y^j =1} = {Y^i =1} ∩ {Y^j =1} ⊆ {Y^i =1} であることから、P(Y^i =1, Y^j =1)≦P(Y^i =1) が分かります。
同様にして、P(Y^i =1, Y^j =1)≦P(Y^j=1)も分かります。
(B) E[Y^iY^j]=P(Y^i =1, Y^j =1) ≧ -min{0, 1 - p_i - p_j} を示すには・・・
P(Y^i =1, Y^j =1) ≧0 は明らか。
また、P(Y^i = 1) + P(Y^ｊ = 1) - P(Y^i =1, Y^j =1) = P(Y^i =1 or Y^j = 1)
が成り立つことに注意して、 P(Y^i =1 or Y^j = 1) ≦ 1 であることから、
P(Y^i =1, Y^j =1) ≧ p_i + p_j - 1
が成り立つことがわかります。
よって、
P(Y^i =1, Y^j =1) ≧ max{p_i + p_j - 1, 0}
が成り立ちますが、max(a,b) = －min（-a, -b) という関係が一般に成り立つので、
max{p_i + p_j - 1, 0} = －min{1 - p_i - p_j, 0}
として、(B)が成り立つことがわかります。
(ii) 少し計算ミス・マイナス符号のつけ忘れもありましたが、だいたい良くできていました。
－0.01436≦ ρ≦0.70353
となります。
(iii) 分散の計算が不正確な人がいました。あと期待値も勘違いをしている人がいました。
（Σ記号を使わずに書きます）
E[L]＝E[Y^1 + ・・・+Y^m] = E[Y^1] + ・・・+ E[Y^m]
= P(Y^1 = 1) +・・・+P(Y^m = 1)
= π + ・・・ + π = mπ
また、
V(L) = V(Y^1 + ・・・+Y^m)
= V(Y^1) + ・・・ + V(Y^m) + 2{Cov(Y^1,Y^2) + ・・・Cov(Y^{m-1},Y^m)
とできることに注意して、
V(Y^i) = E[(Y^i)^2] - E[Y^i]^2 = π - π^2
i ≠ j のとき、Cov(Y^i, Y^j) = E[Y^i Y^j] - E[Y^i]E[Y^j] = π_2 - π^2
であることから、
V(L) = m(π - π^2) + 2 × m(m-1)/2 (π_2 - π^2)
=m(π - π^2) + m(m-1) (π_2 - π^2)
となります。(m(m-1)/2 は m 以下の数の中から、異なる２つの数を取り出す組合せの数です）
(i) 手つかずの人もいました。また、議論が不十分だったり、いちおうできているけれど説明が冗長な人が目立ちました。場合分けを丁寧にしている人がいましたが、場合分けの議論は不要です。
まず、 E[Y^iY^j] = P(Y^i =1, Y^j =1) に注意です。つまり、E[Y^iY^j] は i と j の同時デフォルト確率を表していることに注意。
(A) min{p_i, p_j} ≧ E[Y^iY^j]=P(Y^i =1, Y^j =1) を示すには・・・
{Y^i =1, Y^j =1} = {Y^i =1} ∩ {Y^j =1} ⊆ {Y^i =1} であることから、P(Y^i =1, Y^j =1)≦P(Y^i =1) が分かります。
同様にして、P(Y^i =1, Y^j =1)≦P(Y^j=1)も分かります。
(B) E[Y^iY^j]=P(Y^i =1, Y^j =1) ≧ -min{0, 1 - p_i - p_j} を示すには・・・
P(Y^i =1, Y^j =1) ≧0 は明らか。
また、P(Y^i = 1) + P(Y^ｊ = 1) - P(Y^i =1, Y^j =1) = P(Y^i =1 or Y^j = 1)
が成り立つことに注意して、 P(Y^i =1 or Y^j = 1) ≦ 1 であることから、
P(Y^i =1, Y^j =1) ≧ p_i + p_j - 1
が成り立つことがわかります。
よって、
P(Y^i =1, Y^j =1) ≧ max{p_i + p_j - 1, 0}
が成り立ちますが、max(a,b) = －min（-a, -b) という関係が一般に成り立つので、
max{p_i + p_j - 1, 0} = －min{1 - p_i - p_j, 0}
として、(B)が成り立つことがわかります。
(ii) 少し計算ミス・マイナス符号のつけ忘れもありましたが、だいたい良くできていました。
－0.01436≦ ρ≦0.70353
となります。
(iii) 分散の計算が不正確な人がいました。あと期待値も勘違いをしている人がいました。
（Σ記号を使わずに書きます）
E[L]＝E[Y^1 + ・・・+Y^m] = E[Y^1] + ・・・+ E[Y^m]
= P(Y^1 = 1) +・・・+P(Y^m = 1)
= π + ・・・ + π = mπ
また、
V(L) = V(Y^1 + ・・・+Y^m)
= V(Y^1) + ・・・ + V(Y^m) + 2{Cov(Y^1,Y^2) + ・・・Cov(Y^{m-1},Y^m)
とできることに注意して、
V(Y^i) = E[(Y^i)^2] - E[Y^i]^2 = π - π^2
i ≠ j のとき、Cov(Y^i, Y^j) = E[Y^i Y^j] - E[Y^i]E[Y^j] = π_2 - π^2
であることから、
V(L) = m(π - π^2) + 2 × m(m-1)/2 (π_2 - π^2)
=m(π - π^2) + m(m-1) (π_2 - π^2)
となります。(m(m-1)/2 は m 以下の数の中から、異なる２つの数を取り出す組合せの数です）
「フィナンシャル・リスク・マネジメント」第１４回フォロー
プレゼン資料とポートフォリオ・ラリーのデータをイントラネットにアップしておきました。
第13回の課題を提出したことが確認できているのは以下の9名です。
（共同研究室に提出された人がいたとすると、そちらは確認していません）
提出したはずなのに自分の id が載っていないという人は至急連絡ください。
IM07F044, IM08F017, IM08F023, IM08F024, IM08F026, IM08F027,
IM08F037, IM08F039, IK08F001
第13回の課題を提出したことが確認できているのは以下の9名です。
（共同研究室に提出された人がいたとすると、そちらは確認していません）
提出したはずなのに自分の id が載っていないという人は至急連絡ください。
IM07F044, IM08F017, IM08F023, IM08F024, IM08F026, IM08F027,
IM08F037, IM08F039, IK08F001
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