第9回レポートの講評

第9回目の課題レポートを1次チェックしての講評です。

全体的に計算問題は答えがあっていて、その前に計算式が書かれていれば○としてあります。

（答えが偶然に合うことは考えにくいので、答えが正しければある程度適切な議論ができていると見なしました）

問１ (1) はほとんどの人ができていましたが、出来なかった人は要確認です。

(2) は2^4 = 16個でよいのですが、(3)(4)を解くことを考えると、具体的に16個書きだしてほしいところです。具体的に16個書いていた人は皆きちんとできていました。{1},{2,3},{4},{5,6} の補集合だけを考えて10個の人もいましたが、1},{2,3},{4},{5,6} からできる和集合も要素になることも要請されます。

また、2^4 個の要素をもつ理由を考えて（思い出して）ください。

(3) (4) は結果が正しくても議論が不完全な人が少なからずいましたので、そこは注意をしています。

(3)はF-可測でないという答えなので、論理的には逆像がFに含まれない反例を１つ示せば十分です。

(4) はF-可測であるという答えなので、{0,1,9} の全ての要素について1点集合の逆像がFに含まれることをいう必要があります。

(5)は計算ミスもややありましたが比較的よくできていました。1- P({5,6}) でも求められます。

問2 は独立性を適切に使えるかどうかがポイントです。その意味で出来不出来が分かれました。

授業できちんと説明できませんでしたが、解答例を参考にして復習してください。

結局は、

（2つの集合の「共通部分」の確率）　＝　（それぞれの集合の確率の積）

という形の式を作るということがポイントです。

確率変数の独立性の場合は、確率変数がどの値をとる場合で考えるかで何通りも式ができますが、

本質的には同じ結果になるので、１つのパターンで考えればよいです。

「金融数理の基礎」第10回フォロー

今回の配付資料および前回演習問題の解答例をイントラネットにアップしておきました。

（受領確認）第9回レポート

第9回の課題レポートを提出されたIDを確認のため掲示します。

適宜、この記事は更新していきますので、提出したはずなのに自分のIDが
無いという人は、早めに中川に連絡ください。

12/10 21:30 時点の提出者：

IM10F005, IM10F006, IM10F011, IM10F013, IM10F014, IM10F016,
IM10F019, IM10F021, IM10F022, IM10F024, IM10F025, IM10F029,
IM10F030, IM10F031, IM10F033, IM10F034, IM10F035, IM10F039

１２／１０（金）「金融数理の基礎」第10回：確率論（期待値、条件付き期待値）

次回は期待値、そして条件付き期待値について触れます。

準教科書の4.7節の4.7.1〜4.7.3項までと7.4節の7.4.1項までの内容に触れます。
5.4.3項の幾何的イメージにも言及したいと思います。
（予習用資料をイントラネットにおいてあります）

* 確率測度による積分と確率分布による積分
* 期待値
* 条件付き期待値の定義とそのイメージ
* 条件付き期待値の計算

という流れで進めたいと思います。

条件付き期待値を「確率変数」として理解するということがポイントになります。

「金融数理の基礎」第9回フォロー

今回の配付資料および次回以降の予習用資料をイントラネットにアップしておきました。

例題の解説が、だいぶ駆け足になってしまったので、補足しておきます。

(2)については、次のような表をつくって考えると分かりやすいかもしれません。

また、(4)で独立性の条件を使うところでは、

P((X-3)^+ = 1, (Y-2)^+ = 1) = P((X-3)^+ = 1)×P( (Y-2)^+ = 1)

以外にも、

P((X-3)^+ = 1, (Y-2)^+ = 0) = P((X-3)^+ = 1)×P( (Y-2)^+ = 0) ,

P((X-3)^+ = 0, (Y-2)^+ = 1) = P((X-3)^+ = 0)×P( (Y-2)^+ = 1) ,

P((X-3)^+ =0, (Y-2)^+ = 0) = P((X-3)^+ = 0)×P( (Y-2)^+ = 0)

も成立します。

ただ、未知数が２つに対して、本質的に異なる２つの方程式が得られれば十分なので、最初の条件だけを使いました。

確率空間と実数をつなぐ「確率変数X」、確率空間と[0,1]区間をつなぐ「確率測度P」の図の説明が分かりやすかったという声をもらいました。かなりイメージに頼る説明でしたし、いろいろと気をつけなければ点の説明を省いたりもしています。

ただ、実際に我々が観測できるものは、抽象的な空間の「神様のサイコロの目」ではなくて、それが確率変数を通じて実数上に表現されたもの、という基本的なイメージを持っていると測度論に基づく確率論を導入する意味が少しは分かりやすくなると思います。

次回は条件付き期待値ですが、そこでも同様のイメージで説明したいと思います。

12/3（金）授業前の中間試験解説の実施について

12/3（金）の「金融数理の基礎」授業本編は20:00～ですが、1限の沖本先生の授業が休講であり、第3講義室の経営法務の授業も休講のようです。

授業本編で中間試験について触れる時間はほとんどありませんので、

授業前　19:00～19:50 に、第3講義室で「『金融数理の基礎』中間試験の解説」をしたいと思います。

（現時点では、教室が使用できるよう確認中です）

もちろん、希望者だけ参加してください。

＃解説に出席したからと言って中間試験の点数が上がるわけではありませんが、私の解説と返却された答案を比べて、この部分は加点してもらえるかも…と気づくかもしれません。

19:00 に第3講義室に下りていきます。そこで一名でもいれば、解説を始めます。

（誰もいなければ中止して部屋に戻ります）

どの問題を解説するかは、参加者の希望を聞いて決めます。

また問題や解答例を配付したりはしません。

「金融数理の基礎」中間試験答案の返却について

「金融数理の基礎」中間試験の採点答案とメモを本日返却するよう手配します。
（採点した答案・メモについてはコピーをとってあります）

1枚目の答案の氏名右のところに赤丸で囲まれた赤い数字が100点満点での今回の点数です。

共同研究室からメールで連絡があると思いますので、8階の共同研究室のドアのところ個人フォルダから受け取ってください。

中間試験の採点結果について質問・異議等があれば、12月10日（金）までに、直接中川に問い合わせてください。

１２／３（金）「金融数理の基礎」第9回：確率論（確率空間、確率変数）

第9回から、確率論の話題に入っていきます。

準教科書の2.6節の2.6.2項までと3.5節の3.5.4項までの内容に触れます。
（予習用資料をイントラネットにおいておきます）

* 確率空間とその例
* 確率変数
* 確率分布
* 独立性について

という流れで進めたいと思います。

「金融数理の基礎」第8回：中間試験採点講評(速報版）

解答例はイントラネットにアップしておきました。

受験者数は23名。ガチンコ採点の段階ですが、

最高得点は98点（100点満点）。90点台がもう1名、80点台が3名、70点台が4名です。

返却前までに再チェックをするので、得点は変動すると思います。

以下、簡単なコメントです。

問題１。A の正体が全くつかめない人はいないようでしたが、Bが適切にとらえられたかどうかで差がついたと思います。

なお、集合を表す際に要素を { } で囲っていない場合は1点減点しました。

また(4)(6) は片方だけ正解の場合は3点与えました。

(5)は結論に対して2点。理由の説明で多少の表現の不備はおまけしていますが、「全射でない」ことの説明をしていない場合や、明らかに変な説明の場合は減点しています。

問題2。間違い一つにつき4点減点です。5つ以上間違いがあると0点になります。B∪C と書くべきところを B+C と書いている人が少なくありませんでした。こういう表記も無いわけではありませんが、私の授業で集合の和を「＋」で表したことは無かったはずですので、今回の採点では×にしました。

「ド・モルガン」のところを「分配則」と書いた人がいましたが、問題の誘導からすると分配則の適用にはなっていません。

問題3。(1)（ア）と(2) は正解している人が比較的多かったです。数字はあっているけれど、端点が閉か開かというところが違っているときは3点だけ与えました。

証明は、10点配点で3点ずつの減点法なので、4つ以上間違いだと0点になり、そういう人が多かったです。

問題4。出来不出来がはっきりした問題でした。4割強の人が15点でした。

問題5。多少の説明不足はあっても、正解にたどり着いていれば10点与えました。10点の人は全体の3分の1でした。φを単関数と捉え直すところで計算ミスがある人が多かったですが、絶対値と平方根の処理の正確さや、積分の定義の本質を押さえた式が書けているかどうかを考慮して部分点を与えています。

問題6。(1)はリーマン積分可能な関数なので、ルベーグ積分もその値に一致することを使えばよい問題です。グラフを描けば積分の値は二等辺三角形の面積になることも分かります。前回の授業では、ルベーグ積分をリーマン積分や広義積分で計算する例を紹介してました。

(2) でも、いろいろ書いていた人がいますが、説明が適切でなければ点はあげられません。優収束定理の仮定が満たされていないことに言及していても、f(x)=0 であることを明示して等号不成立の理由に触れていない場合などは減点しています。

11/26（金）「金融数理の基礎」第8回：中間試験

シラバス等で予告はしていますが、第8回目の授業は中間試験となります。
重要な追加事項は、この記事を更新する形で伝えます。
（もちろん授業中に伝えますし、必要があれば学内メーリングリストでお伝えします）


日時：11月26日（金）20:10～21:25（正味75分）
場所：第3講義室（席順はこちらで指定）

遅刻は試験開始30分まで認める（すなわち 20:40まで）。
また、試験開始30分後から試験終了5分前（すなわち 20:40～21:20）の間は、早く終了した者の退室を認める。


【試験範囲およびその他の注意事項】

• 試験範囲は第7回目までの授業内容および配付資料。特に板書した内容およびレポート課題の問題については復習しておくこと。試験に関するポイントは授業中に口頭で伝える。
• テキスト、参考書の参照は不可。ただし、第5回目の授業で配付した「中間試験について」の裏側の枠内部分に手書きでメモしたもののみ参照することを許可する。この、手書きメモは試験答案と一緒に提出してもらう（採点答案といっしょに返却する）。
• 卓上計算機などの使用は不可とする。
  

なお、中間試験と期末試験はそれぞれ100点満点で採点するが、最終成績評価は
　max{中間試験の点数, 期末試験の点数} × 0.5 + 期末試験の点数 × 0.5
として100点満点に変換する（通称KH先生方式？）。