第１１回分の宿題についてのコメントです。
提出した人の多くは正解でした。
最後の期待値の計算ミスや同じものをリストしてしまった解答が若干ありました。
（目を皿のようにして確認したわけではないので、見落としはあるかもしれません。あしからず）
「OTM のとき決して権利行使されない停止時刻」という意味が分からなかった人がいたので、フォローしておきます。
OTM は Out of The Money の略で、その時点で仮にオプションを行使しても正の payoff を受け取れない状態を指すことに注意します。
今回の例で、OTM に当たるのは、G_n という本源的価値が負の値のときですから、
具体的には G_1(H) = -3, G_2(HH)=-11 の部分ということになります。
よって、「OTM のとき行使する」ということは、「１回目のコイントスが H のときに行使する」あるいは「最初の２回のコイントスの結果がHH のときに行使する」 ということです。
これは停止時刻でいうと、τ(HH)=τ(HT)=1 あるいは τ(HH)=2 という場合に相当します。
ですから、「OTM のとき決して権利行使されない停止時刻」として、○をつけるのは、上のような場合を除いたもので、具体的には τ(HH)=0 または τ（HH)=∞ になっている停止時刻ということになります。
正しく解答していた人でも、その辺の説明をしているレポートは無かったので、確認しておいてください。
2008年7月8日火曜日
「金融数理の基礎」第１２回フォロー
配布資料はイントラネットにアップしておきました。
7月8日（火）提出の「金融数理の基礎」第11回分のレポートの提出が確認できているのは、以下の19名です。
提出したはずなのに自分の id が載っていないという人は至急連絡ください。
IK08F002, IM05F023, IM07F029, IM07F044, IM08F007, IM08F010,
IM08F013, IM08F017, IM08F020, IM08F023, IM08F024, IM08F026,
IM08F027, IM08F028, IM08F030, IM08F037, IM08F038, IM08F039,
IM08F040
証明は適当に省略して、テキストに挙げられていないR.W. のオモローな性質を紹介しようと
思いましたが、結局、証明に時間をかけてしまいました。
次回はもう少し、いろんな話題を紹介できるように配慮したいと思います。
7月8日（火）提出の「金融数理の基礎」第11回分のレポートの提出が確認できているのは、以下の19名です。
提出したはずなのに自分の id が載っていないという人は至急連絡ください。
IK08F002, IM05F023, IM07F029, IM07F044, IM08F007, IM08F010,
IM08F013, IM08F017, IM08F020, IM08F023, IM08F024, IM08F026,
IM08F027, IM08F028, IM08F030, IM08F037, IM08F038, IM08F039,
IM08F040
証明は適当に省略して、テキストに挙げられていないR.W. のオモローな性質を紹介しようと
思いましたが、結局、証明に時間をかけてしまいました。
次回はもう少し、いろんな話題を紹介できるように配慮したいと思います。
2008年7月7日月曜日
７／９（水）「フィナンシャル・リスク・マネジメント」第１４回：オペリスク
2008年7月4日金曜日
７／８（火）「金融数理の基礎」第12回：アメリカン・デリバティブ(残り), ランダムウォーク(1)
第11回目では、メインテキストの4.5節、5.1-5.2節を扱う予定でいます。
予習時のポイント（授業において重点的に説明するところにもなります）として、以下の項目を挙げておきます。
不思議な結果が得られるところでもあります。
また、証明で使われているテクニックの中には、是非この機会に知っておいて
ほしいものもありますので、証明についてもポイントとなる部分は詳しく見ていこう
と思います。
予習時のポイント（授業において重点的に説明するところにもなります）として、以下の項目を挙げておきます。
- アメリカン・コール・オプションの価格
- 対称ランダムウォークの定式化
- 対称ランダムウォークの初到達時刻の面白い性質
不思議な結果が得られるところでもあります。
また、証明で使われているテクニックの中には、是非この機会に知っておいて
ほしいものもありますので、証明についてもポイントとなる部分は詳しく見ていこう
と思います。
「フィナンシャル・リスク・マネジメント」第１２回分課題レポート【返却】
「金融数理の基礎」第１０回分宿題レポート【返却】
2008年7月2日水曜日
「フィナンシャル・リスク・マネジメント」第１２回分課題コメント
第１２回分の演習課題についての略解とコメントです。
問1(iii) で c(0,1) が「 qδ で近似できる」とすべきところを 「 q(1-δ) で近似できる」としてしまいました。 私の出題ミスです。申し訳ありませんでした。
問1 (i) 1/(1+0.05) ≒ 0.952
(ii) 1/1.05 *[(1 - q)・1 + q * 0.6] = 0.941 という方程式を立てて、q = 0.0299 となり、約3% と分かる。
また、q > p という理由としては、債券に投資する場合はデフォルト・リスクを引き受ける見返りとして、リスク・プレミアムを要求することが反映されているというのが自然な説明でしょう。
もちろん、リスク・プレミアムが意味するところをきちんと議論する必要が本当はありますが。
(iii) 数字を入れると c(0,1) ≒ 0.012 となりますが、
数式のままで考えると、c(0,1) = -log ( 1 - qδ) となりますが、
一般に x が十分小さいとき、log(1-x)≒-x が成り立つので
c(0,1) ≒ qδ と近似できることが分かります（実際、qδ ≒ 0.012 となることからも重ねて確認できます）。
私の出題ミスを悟って、正しい近似の議論をしてくださった方も多かったです。
※金利を年複利で与えておいて、スプレッドを連続複利で計算せよというところに違和感を覚えた人もういるかもしれませんが、 1/(1+r+c) = 1/(1+r)*[(1 - q)・1 + q * (1-δ)] という形で、スプレッド c を定義しても、c ≒ qδ を結論づけることはできます。
問2
与えられた等式の c^* のところに 0.02 を代入して、h^Q の非線形方程式を作り、例えばExcel のゴールシークやソルバーで解くと、およそ h^Q = 0.0323 程度になります。
一方、(r+h^Q)Δ が十分小さいとすると、
exp(-(r+h^Q)Δ) ≒ 1 - (r+h^Q)Δ
となることから、
c ≒ {Lh^Q(r+h^Q)Δ}/{(r+h^Q)Δ [1 - (r+h^Q)Δ]}
≒ {Lh^Q(r+h^Q)Δ}/{(r+h^Q)Δ} ({(r+h^Q)Δ}^2 ≒ 0 と見なす）
≒ Lh^Q
と整理してみることができる。よって、 h^Q ≒ c / L と近似できることが分かります（実際、c/L ≒ 0.033 となることからも重ねて確認できます）。
問2 の方は、数式レベルで近似関係の成立を議論している人はあまり多くありませんでした。
問1(iii) で c(0,1) が「 qδ で近似できる」とすべきところを 「 q(1-δ) で近似できる」としてしまいました。 私の出題ミスです。申し訳ありませんでした。
問1 (i) 1/(1+0.05) ≒ 0.952
(ii) 1/1.05 *[(1 - q)・1 + q * 0.6] = 0.941 という方程式を立てて、q = 0.0299 となり、約3% と分かる。
また、q > p という理由としては、債券に投資する場合はデフォルト・リスクを引き受ける見返りとして、リスク・プレミアムを要求することが反映されているというのが自然な説明でしょう。
もちろん、リスク・プレミアムが意味するところをきちんと議論する必要が本当はありますが。
(iii) 数字を入れると c(0,1) ≒ 0.012 となりますが、
数式のままで考えると、c(0,1) = -log ( 1 - qδ) となりますが、
一般に x が十分小さいとき、log(1-x)≒-x が成り立つので
c(0,1) ≒ qδ と近似できることが分かります（実際、qδ ≒ 0.012 となることからも重ねて確認できます）。
私の出題ミスを悟って、正しい近似の議論をしてくださった方も多かったです。
※金利を年複利で与えておいて、スプレッドを連続複利で計算せよというところに違和感を覚えた人もういるかもしれませんが、 1/(1+r+c) = 1/(1+r)*[(1 - q)・1 + q * (1-δ)] という形で、スプレッド c を定義しても、c ≒ qδ を結論づけることはできます。
問2
与えられた等式の c^* のところに 0.02 を代入して、h^Q の非線形方程式を作り、例えばExcel のゴールシークやソルバーで解くと、およそ h^Q = 0.0323 程度になります。
一方、(r+h^Q)Δ が十分小さいとすると、
exp(-(r+h^Q)Δ) ≒ 1 - (r+h^Q)Δ
となることから、
c ≒ {Lh^Q(r+h^Q)Δ}/{(r+h^Q)Δ [1 - (r+h^Q)Δ]}
≒ {Lh^Q(r+h^Q)Δ}/{(r+h^Q)Δ} ({(r+h^Q)Δ}^2 ≒ 0 と見なす）
≒ Lh^Q
と整理してみることができる。よって、 h^Q ≒ c / L と近似できることが分かります（実際、c/L ≒ 0.033 となることからも重ねて確認できます）。
問2 の方は、数式レベルで近似関係の成立を議論している人はあまり多くありませんでした。
「フィナンシャル・リスク・マネジメント」第１３回フォロー
プレゼン資料と課題のファイルをイントラネットにアップしておきました。
第12回の課題を提出したことが確認できているのは以下の11名です。
（共同研究室に提出された人がいたとすると、そちらは確認していません）
提出したはずなのに自分の id が載っていないという人は至急連絡ください。
IM07F016, IM07F044, IM08F017, IM08F023, IM08F024, IM08F026,
IM08F027, IM08F037, IM08F039, IK08F001, IM05F023
授業の話題に、日経平均が43年ぶりに10日連続下落という話題に触れましたが、
それに関して次の問題の答えは分かるでしょうか？
「１営業日ごとに日経平均が上がるか下がるか半々の確率であり、日々の上がり下がりは独立であるとしたとき、計測してから初めて10日連続下落するまでの日数の期待値はどれくらいか？」
けっこうな難問だと思いますが・・・
第12回の課題を提出したことが確認できているのは以下の11名です。
（共同研究室に提出された人がいたとすると、そちらは確認していません）
提出したはずなのに自分の id が載っていないという人は至急連絡ください。
IM07F016, IM07F044, IM08F017, IM08F023, IM08F024, IM08F026,
IM08F027, IM08F037, IM08F039, IK08F001, IM05F023
授業の話題に、日経平均が43年ぶりに10日連続下落という話題に触れましたが、
それに関して次の問題の答えは分かるでしょうか？
「１営業日ごとに日経平均が上がるか下がるか半々の確率であり、日々の上がり下がりは独立であるとしたとき、計測してから初めて10日連続下落するまでの日数の期待値はどれくらいか？」
けっこうな難問だと思いますが・・・
「金融数理の基礎」第１０回分宿題コメント
第１０回分の宿題についてのコメントです。
解き方は分かっていながら計算ミスをした人、ストラドルのアルゴリズムの理解が不十分だった人、
(iv)の答え方が不適切と判断された人がそれぞれ少しずついましたが、全体的に良くできていたと
思います。
授業フォローのところに書いておいた宿題コメントをこちらに転記します。
解答は、
(i) 116/125=0.928 (ii) 64/25 = 2.56 (iii) 412/125 = 3.296
(iv) 大まかに言えば、「straddle は結局１回の行使で、call か put いずれか一方のpayoff しか受け取れないが、put と call を別々にもっていれば、それぞれを最適なタイミングで行使して、両方の payoff を受け取る可能性があるため」といったもので、そのような内容に触れていればOKとしています。
ただし、厳密には call と put それぞれを行使する機会が存在するというだけでは、straddle の価格が put と call の価格の和を上回らないことは言えても、真に小さくなることまでは言えないと考えます。
したがって、真の不等号が成り立つことを主張するためには、straddle の最適行使タイミングが、put と call の最適行使タイミングとずれていることを具体的に指摘することが大切に思います。
解き方は分かっていながら計算ミスをした人、ストラドルのアルゴリズムの理解が不十分だった人、
(iv)の答え方が不適切と判断された人がそれぞれ少しずついましたが、全体的に良くできていたと
思います。
授業フォローのところに書いておいた宿題コメントをこちらに転記します。
解答は、
(i) 116/125=0.928 (ii) 64/25 = 2.56 (iii) 412/125 = 3.296
(iv) 大まかに言えば、「straddle は結局１回の行使で、call か put いずれか一方のpayoff しか受け取れないが、put と call を別々にもっていれば、それぞれを最適なタイミングで行使して、両方の payoff を受け取る可能性があるため」といったもので、そのような内容に触れていればOKとしています。
ただし、厳密には call と put それぞれを行使する機会が存在するというだけでは、straddle の価格が put と call の価格の和を上回らないことは言えても、真に小さくなることまでは言えないと考えます。
したがって、真の不等号が成り立つことを主張するためには、straddle の最適行使タイミングが、put と call の最適行使タイミングとずれていることを具体的に指摘することが大切に思います。
2008年7月1日火曜日
「金融数理の基礎」第１１回フォロー
配布資料はイントラネットにアップしておきました。
7月1日（火）提出の「金融数理の基礎」第10回分のレポートの提出が確認できているのは、以下の２０名です。
提出したはずなのに自分の id が載っていないという人は至急連絡ください。
IK08F002, IM05F023, IM07F029, IM07F031, IM07F044, IM08F007,
IM08F010, IM08F013, IM08F017, IM08F020, IM08F023, IM08F024,
IM08F026, IM08F027, IM08F028,IM08F030, IM08F037, IM08F038,
IM08F039, IM08F040
前回の課題の解答ですが、
(1) 116/125=0.928 (2) 64/25 = 2.56 (3) 412/125 = 3.296
(4) 大まかに言えば、「straddle は結局１回の行使で、call か put いずれか一方のpayoff しか受け取れないが、put と call を別々にもっていれば、それぞれを最適なタイミングで行使して、両方の payoff を受け取る可能性があるため」といったもので、そのような内容に触れていればOKとしています。
ただし、厳密には call と put それぞれを行使する機会が存在するというだけでは、straddle の価格が put と call の価格の和を上回らないことは言えても、真に小さくなることまでは言えないと考えます。
したがって、真の不等号が成り立つことを主張するためには、straddle の最適行使タイミングが、put と call の最適行使タイミングとずれていることを具体的に指摘することが大切に思います。
7月1日（火）提出の「金融数理の基礎」第10回分のレポートの提出が確認できているのは、以下の２０名です。
提出したはずなのに自分の id が載っていないという人は至急連絡ください。
IK08F002, IM05F023, IM07F029, IM07F031, IM07F044, IM08F007,
IM08F010, IM08F013, IM08F017, IM08F020, IM08F023, IM08F024,
IM08F026, IM08F027, IM08F028,IM08F030, IM08F037, IM08F038,
IM08F039, IM08F040
前回の課題の解答ですが、
(1) 116/125=0.928 (2) 64/25 = 2.56 (3) 412/125 = 3.296
(4) 大まかに言えば、「straddle は結局１回の行使で、call か put いずれか一方のpayoff しか受け取れないが、put と call を別々にもっていれば、それぞれを最適なタイミングで行使して、両方の payoff を受け取る可能性があるため」といったもので、そのような内容に触れていればOKとしています。
ただし、厳密には call と put それぞれを行使する機会が存在するというだけでは、straddle の価格が put と call の価格の和を上回らないことは言えても、真に小さくなることまでは言えないと考えます。
したがって、真の不等号が成り立つことを主張するためには、straddle の最適行使タイミングが、put と call の最適行使タイミングとずれていることを具体的に指摘することが大切に思います。
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