LaTeX2HTML5のテスト

$$ \hat{x}(t) = \sum \limits_{k=-N}^{N}\alpha_k e^{ik\omega_0 t} $$ \begin{interactive} \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2) \psframe(-2,-2)(2,2) \userline[linewidth=2pt,linecolor=green]{->}(0,0)(2,2){-x}{-y} \userline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(0,0)(2,2){0}{y} \userline[linewidth=2pt,linecolor=purple]{->}(0,0)(2,2){-x}{cos(y)} \userline[linewidth=2pt,linecolor=lightblue]{->}(0,0)(2,2)(sin(x)}{-y} \end{pspicture} \end{interactive} \begin{align*} \langle \hat{x}_N, \Psi_\ell\rangle &= \langle \sum \limits_{k=-N}^{N}\alpha_k e^{ik\omega_0 t} , \Psi_\ell\rangle \\ \langle \hat{x}_N, \Psi_\ell\rangle &= \sum \limits_{k=-N}^{N}\alpha_k \langle e^{ik\omega_0 t} , \Psi_\ell\rangle \\ \langle \hat{x}_N, \Psi_\ell\rangle &= \alpha_\ell \langle e^{i\ell\omega_0 t} , \Psi_\ell\rangle \\ \langle \hat{x}_N, \Psi_\ell\rangle &= \alpha_\ell \langle \Psi_\ell , \Psi_\ell\rangle \\ \alpha_\ell &= \frac{\langle \hat{x}_N, \Psi_\ell\rangle }{\langle \Psi_\ell , \Psi_\ell\rangle } \\ \end{align*}

2013年度の「金融数理の基礎」について

（シラバスを構想中…現段階でも変更の可能性あり）


【授業の概要】（※ 2012 年度と基本的に同じ授業内容の予定です）
確率モデルを用いて金融市場を理論的に分析する学問である「数理ファイナンス」の基本的な概念を理解するために必要な数学（確率解析）の基礎的な内容を理解してもらうために、その前提となる基礎的な数学の知識・考え方を講義する。


【履修のための条件】計量ファイナンス系のM1 向け科目だが、意欲があれば誰でも受講可能。

【授業の目的・到達目標】離散時間モデルにおけるデリバティブの価格付け理論の理解を最終的な目的とするが、そのために必要となる確率論の知識・考え方および、さらにその前提となる集合論の基本的な知識・考え方まで立ち戻って理解してもらうことを目指す。


【授業の内容・計画】（※ 2013 年1 月段階の構想のため変更の可能性あり。詳細は9 月に告知予定）

1. (10/3) Guidance & Introduction ： 講義全般のオリエンテーション（高校数学の『論理』の復習など）
2. (10/10) 集合論（集合の演算、写像）
3. (10/17) 集合論（写像、集合族）
4. (10/24) 集合論（集合族，濃度）
5. (10/31) 集合論（同値関係ほか）
6. (11/7) 確率論（確率空間、確率変数）
7. (11/14) 確率論(期待値、独立性）
8. (11/21) 中間試験
9. (11/28) 確率論(条件付き期待値）
10. (12/5) 確率論(マルチンゲール）
11. (12/12) 2 項モデルを用いた解析（金融市場モデル）
12. (12/19) 2 項モデルを用いた解析（単純ランダムウォークを用いた金融市場モデル）
13. (1/9) 2 項モデルを用いた解析（ヨーロピアン・デリバティブと価格付け）
14. (1/16) 2 項モデルを用いた解析（リスク中立確率測度）
15. (1/23) 2 項モデルを用いた解析（一般のデリバティブの価格付けと演習）
16. (2/6) 学期末試験

※出張などにより、スケジュール変更の可能性あり

【テキスト・参考文献】

1. 今岡光範他『これだけは知っておきたい教員のための数学I －代数・幾何』, 培風館(2007)
2. 関根順, 『数理ファイナンス』, 培風館(2007)

※ 2～5 回目は1 の第1章の記述に沿って、6 回～15 回については2 の第1 章の1.1 節～1.4 節の内容を解説する予定。ただし、確率論の部分は別の資料で補足する予定その他、授業中やブログで参考文献を紹介する。

【成績評価の方法】中間試験（50%)、期末試験(50%)。平常点を考慮する場合もある。

2013年度の「ファイナンシャル・リスク・マネジメント」について

（シラバスを構想中…現段階でも変更の可能性あり）


【授業の概要】（※ 2012 年度と同様の授業形態を予定しています）
金融リスク（市場リスク・信用リスク）の計量に関するいくつかの論文の講究を通じて、モデルの理論的
背景（特に数学的議論）の理解を深め、実際の金融リスク・マネジメントとの距離感や実用化の方法などに
ついて議論する。

【履修のための条件】計量ファイナンス系のM2 向け科目という位置づけだが、意欲があれば誰でも受講
可能。

【授業の目的・到達目標】
金融リスク計測に関連するモデルの理論的側面について、数学的議論を通じてきちんと理解することを
目指す。くわえてモデルの実証方法を理解し、部分的に論文中の手法を再現できるようにリスク計測技術の
向上も目指す。さらに、専門学術雑誌に掲載された学術論文をきちんと読む姿勢を身につけることも副次的
に目指す。


【授業計画】（※ 2013 年1 月段階の構想のため変更の可能性あり。詳細は4 月初めに告知予定）

1. (4/2) Guidance & Introduction ： 講義全般のオリエンテーション
2-3. (4/9, 4/16) 社債スプレッドとアナリスト利益予想のバラツキ： Güntaya and Hackbarth (2010)
4-6. (4/23, 4/30, 5/7) VaR、コピュラ： Embrechts et al. (2012)
7-9. (5/14, 5/21, 5/28) モデルリスク、デフォルト相関： Morini (2009)
10-12. (6/4, 6/11, 6/18) カウンターパーティリスク： Hull and White (2003)
13-15. (6/25, 7/2, 7/9) Frailty, 最尤法, ： Duffie et al. (2009)

※海外出張などにより、スケジュール変更の可能性あり


【直接扱う論文】

[1] Duffie, D., A. Eckner, G. Horel, and L. Saita, "Frailty correlated default," The Journal of Finance, 64, 2089-2123 (2009)

[2] Embrechts, P., G. Puccetti, and L. RuScaillet, "Model uncertainty and VaR aggregation," Preprint
(2012)

[3] Güntaya, L. and D. Hackbarth, "Corporate bond credit spreads and forecast dispersion," Journal
of Banking & Finance, 34, 2328-2345 (2010)

[4] Hull, J. and A. White, "CVA, DVA, FVA and the Black-Scholes-Merton Arguments," Working
paper (2013)

[5] Morini, M., "One more Model Risk when using Gaussian Copula for Risk Management," Working
paper, (2009)


【他の授業科目との関連】「金融数理の基礎」「金融数理」「金融データ分析の基礎」「統計科学の数理」な
どの授業を一通り履修しており、確率論・統計学の基本的な事項を修得していることを期待する。

【成績評価の方法】平常点（毎回の小レポートや課題への取組、授業中の発言内容など）。いわゆる筆記
試験は行わない。

【学生へのメッセージ】予習に相当時間をかけないと授業について来られないはずです。席に座って何か
を教わりたいという姿勢の人は最後まで続かないでしょう。

BFM2012 に関連した冬休み用問題

【問題】 $\Omega = \{1,2,\cdots,1000\}, \ \mathcal{F} = \mathcal{P}(\Omega), P(\{\omega\}) = \dfrac{1}{1000} \ (\forall \omega \in \Omega)$ として確率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ を与える。
いま、確率過程 $\{X_n\}_{n=1,2,\cdots}$ を $\forall n$ に対して「$X_n(\omega) = \omega$ を $n$ で割った余り」と定義する。 例えば $\omega = 63$ とすると \[ X_1(\omega) = 0, X_2(\omega) = 1, X_3(\omega) = 0, X_4(\omega) = 3, X_5(\omega) = 3, \cdots \] となる。
では、$n = 1,2,\cdots$ という時間の進行とともに確率過程 $X_n$ の値を私たちは知らされていくとき、どの時点まで $X_n$ の値を知ることができれば $\omega$ を特定できるだろうか？
先の例で $n = 5$ までの結果が \[ X_1(\omega) = 0, X_2(\omega) = 1, X_3(\omega) = 0, X_4(\omega) = 3, X_5(\omega) = 3 \] と教えられたとしても $\omega = 63$ は特定できるかというと、できない。 なぜなら $\omega = 123$ とか $\omega = 603$ であっても上のような結果になるからである。

問1
$n=15$までの確率過程 $\{X_n\}$ の値が次のように観測された。 \begin{align*} &X_1 = 0, X_2 = 0, X_3 = 1, X_4 = 2, X_5 = 2, X_6 = 4, X_7 = 1, X_8 = 6, \\ &X_9 = 4, X_{10} = 2, X_{11} = 0, X_{12} = 10, X_{13} = 9, X_{14} = 8, X_{15} = 7 \end{align*}
(i) $\omega$ の値を答えよ。
(ii) この $\omega$ の値を特定するのに必要な最小の $n$ の値を答えよ。

問2
一般に、任意の $\omega \in \Omega$ を特定するためには $\{X_n\}$ の値をどの $n$ まで知る必要があるかを調べよ（当然、手計算では無理なので、適当なプログラムを自分で作って探すことになる）。

そのうえで、次の問いに答えよ。
(i) ある $\omega$ を特定することが可能となる最小の $n$ および特定できる $\omega$ の値を答えよ。
(ii) 全ての $\omega$ を特定することが可能となる最小の $n$ を答えよ。

問3 フィルトレーション $(\mathcal{F}_n)_{n \in \mathbb{N}}$ を $\mathcal{F}_n = \sigma\{X_1, \cdots, X_n\}$ のように与える。
(i) $\{ \emptyset, \Omega \}, \mathcal{F}$ および $\mathcal{F}_1, \cdots, \mathcal{F}_{10}$ の12個の$\sigma$-加法族について、これらを適当な順序に並べて、それぞれの間を「$=$」または「$\subsetneqq$」のいずれか適当な方を用いて包含関係を明らかにせよ。

(ii) 確率変数 $Y(\omega) = \omega$ について、問1 の(i)の答えの $\omega$ の値に対する $\mathbf{E}[ Y | \mathcal{F}_n](\omega)$ の値を $n = 1,2,\cdots,10$ についてそれぞれ求めよ（ここでは、条件付き期待値を確率変数として表示するのではなく、特定の $\omega$ を与えたときの数値をそれぞれの $n$ について答えることを求めている）。

数理ファイナンスセミナー

案内をいただいたので、こちらでも掲載しておきます 

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日時：9月20日（木） 15:30-19:00
場所：東京大学駒場キャンパス数理科学研究科棟123号教室
テーマ：CSAに関しての理論及び実務の問題点


 【プログラム】

15:30-15:35 オープニング

15:35-16:35 講演者：嶋田康史（新生銀行）
　　　　　　　 タイトル：OTCデリバティブの担保化をめぐる近時の状況と実務的な課題 (仮題)

16:35-17:35 講演者：中原健二（BNPパリバ証券）
                タイトル：離散時間モデルでの担保付デリバティブの価格付けについて

17:45-18:00 討論

18:00-19:00 講演者：中山季之（三菱東京UFJ銀行）
                タイトル：CSAやその標準化の流れ、及びそれを反映したプライシング技術について

ファイナンシャル・リスク・マネジメント【第15回に向けての課題】

問題	Merton (1974) に関する以下の課題について、第１５回（7/17）の授業までに自分なりの解答を用意してくること。  なお、「（★レポート）」がついた課題については、A4サイズ縦で横書き1ページ以内に解答をまとめて、PDFファイル（推奨）またはWordファイルの形式で、受付期間中にイントラネットを通じて必ず提出すること。  【問題1】 §4の後半で、Table 2 および Figure4～6 これらを再現してみよ。また、これらの図表が意味する内容をTable 1 および Figure1～3 との関係が分かるように整理して説明せよ。      【問題2】 （★レポート） §5 On the Modigliani-Miller Theorem with Bankruptcy の内容を分かりやすく要約せよ。  【問題3】 §6 On the Pricing of Risky Coupon Bonds の内容を分かりやすく要約せよ。
受付開始日時	2012-07-10 21:30:00
受付終了日時	2012-07-17 12:00:00

ファイナンシャル・リスク・マネジメント【第14回に向けての課題】

問題	Merton (1974) に関する以下の課題について、第１４回（7/10）の授業までに自分なりの解答を用意してくること。 なお、「（★レポート）」がついた課題については、A4サイズ縦で横書き1ページ以内に解答をまとめて、PDFファイル（推奨）またはWordファイルの形式で、受付期間中にイントラネットを通じて必ず提出すること。 【問題1】 §3の後半（ 数式(12)以降）の議論を、要約せよ。 【問題2】 §4の(16)式で与えられている the price ratio P(d,T) の d および T による偏導関数 P_d と P_T がそれぞれ (17)と(18)式で与えられることを確認せよ。 【問題3】 （★レポート） Table 1 および Figure1～3 が意味する内容を分かりやすく説明し、これらを再現してみよ。
受付開始日時	2012-07-03 21:30:00
受付終了日時	2012-07-10 12:00:00

16マス伊藤の公式…

なんとなく…

	標準Brown運動 $W_t$	標準Poisson過程 $N_t$	\[ \exp\left((\mu-\frac{\sigma^2}{2})t+\sigma W_t\right)\]	\[\int_0^t e^{-s}dW_s\]
$f(x)=x^2$
$f(x)=x^3$
$f(x)=e^x$
$f(t,x)=e^t\sin x$

ファイナンシャル・リスク・マネジメント【第13回に向けての課題】

問題	Merton (1974) に関する以下の課題について、第１３回（7/3）の授業までに自分なりの解答を用意してくること。  なお、「（★レポート）」がついた課題については、A4サイズ縦で横書き1ページ以内に解答をまとめて、PDFファイル（推奨）またはWordファイルの形式で、受付期間中にイントラネットを通じて必ず提出すること。  【問題1】 §2 の仮定(A.1)～(A.8) の内容を説明し、それぞれの仮定が、後のどのような議論で必要となるのかを分かる範囲で説明せよ。  【問題2】（★レポート） §2 の偏微分方程式(7) はどのような意味で重要なのかを説明せよ。また、(7)を導出される過程で示されている(1)～(6)の各数式が意味している内容を議論の流れをふまえて説明せよ。  【問題3】§3の前半、 数式(12)の直前（"From Black-Scholes equation (13) when ... " の前の文）までの議論を要約せよ。
受付開始日時	2012-06-26 21:30:00
受付終了日時	2012-07-03 12:00:00

ファイナンシャル・リスク・マネジメント【第12回に向けての課題】

問題	Gordy (2003) に関する以下の課題について、第１２回（6/26）の授業までに自分なりの解答を用意してくること。 なお、「（★レポート）」がついた課題については、A4サイズ縦で横書き1ページ以内に解答をまとめて、PDFファイル（推奨）またはWordファイルの形式で、受付期間中にイントラネットを通じて必ず提出すること。 【問題1】 （★レポート） §4のTable 1および Fig.1が何を表しているのか、分かりやすく説明せよ。 【問題2】 §4のTable 3が何を表しているのか、分かりやすく説明せよ。 【問題3】 §5の(21)で定義されるEEL（Expected Excess Loss) が portfolio-invariant でない理由を整理して、分かりやすく説明せよ。また、それをふまえて Table 5 の内容を説明せよ。
受付開始日時	2012-06-19 21:30:00
受付終了日時	2012-06-26 12:00:00